Μαθηματικών Ποιήματα: Μαθηματικά και Μουσική

Η Eσωτερική Σύνδεση Μουσικής και Μαθηματικών στην Αρχαία Ελλάδα

Η μουσική στους αρχαίους πολιτισμούς ήταν κάτι παραπάνω από ευχαρίστηση για το αυτί. Ήταν η άλγεβρα των μεταφυσικών θεωριών, η γνώση της οποίας δινόταν μόνο σε μυημένους, αλλά οι αρχές της μέσω του συλλογικού ασυνείδητου έτρεφαν, επηρέαζαν και εκπαίδευαν τις πλατιές μάζες. Αυτό την έκανε ένα πανίσχυρο όργανο ηθικής διαπαιδαγώγησης, όπως είπε ο Κομφούκιος.

Η μουσική συνδέεται στην αρχαία Ελλάδα άμεσα με την ενέργεια και ως εκ τούτου με δυνάμεις που χαρακτηρίζονται ως «υπερφυσικές». Για παράδειγμα, ο Αμφίων, ο εφευρέτης της κιθαρωδίας, δηλαδή τραγουδιού με συνοδεία κιθάρας, ήταν και ο πρώτος θνητός που έπαιξε λύρα, την οποία διδάχτηκε από τον Ερμή ή από τον πατέρα του τον Δία. Κατά την παράδοση, με τη λύρα και το τραγούδι του μάγευε τις πέτρες, έτσι ώστε από μόνες τους τοποθετούνταν και στερεώνονταν, χτίζοντας τα τείχη της Θήβας με τις επτά πύλες (μία για κάθε χορδή της λύρας του).

Οπωσδήποτε όμως, η ενέργεια της μουσικής μεταστοιχειώνει και τον ίδιο τον άνθρωπο, όπως αναφέρεται στα Πολιτικά (Η΄, 1339Α-1342Β, V, 3-VII, 11) του Αριστοτέλη, κατά τον οποίο η αποστολή της μουσικής είναι τριπλή:

1). «παιδιάς ένεκα και αναπαύσεως» - για ψυχαγωγία και ανάπαυση, 2). «προς αρετήν τι τείνειν την μουσικήν… και το ήθος ποιόν τι ποιείν» - γιατί μπορεί να ασκήσει ευεργετική επίδραση στη διαμόρφωση του χαρακτήρα, 3). «προς διαγωγήν… και προς φρόνησιν» - μπορεί να συμβάλει στη διανοητική και αισθητική απόλαυση και καλλιέργεια.

Οι μελετητές κατανοούν σήμερα τη μαθηματική βάση της μουσικής, αλλά ελάχιστοι συνειδητοποιούν πως η πυθαγόρεια μουσική θεωρία ήταν μόνο μία εφαρμογή των αρχών μίας ολιστικής φιλοσοφίας, η οποία δεν ήταν μόνο τρόπος ζωής, αλλά και σύστημα προσέγγισης της απανταχού παρουσίας του Θεού στη φύση, μέσω της μελέτης των αριθμών.

Δε συνηθίζεται να σκεφτόμαστε μαθηματικά όταν ακούμε μουσική, όπως επίσης να φανταζόμαστε μουσική όταν επιλύουμε ένα αλγεβρικό πρόβλημα. Εντούτοις, ο Πυθαγόρας ενοποίησε τη μουσική με τα μαθηματικά, και από τότε αυτές οι δύο ατραποί του πνεύματος δεν χώρισαν ποτέ. Κοινός στόχος και των δύο είναι – μέσω της μελέτης των αναλογιών – η ανακάλυψη της χρυσής τομής, που θα οδηγήσει με τη σειρά της στον αρμονικό συνδυασμό των ήχων των χορδών, στην αρμονική φωτοσκίαση των κιόνων του Παρθενώνα και εν τέλει στην ένωση σώματος και Ψυχής.

Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του ανέπτυξαν την τετρακτύ, δηλαδή τον τετραδικό τριγωνικό αριθμό της τελείωσης ΔΕΚΑ, συνδυασμό της ενότητας=ΕΝΑ, του ζεύγους των αντίθετων πόλων=ΔΥΟ, της τριαδικής φύσης της θεότητας=ΤΡΙΑ και της εκδήλωσης στον υλικό κόσμο=ΤΕΣΣΕΡΑ. Η πραγματικότητα της ύπαρξης μίας τέτοιας αναλογίας – ανεξάρτητα από την ερμηνεία – φαίνεται γεωμετρικά και αποδεικνύεται αλγεβρικά, όπως δείχνουν το σχήμα και η ισότητα, αντίστοιχα:

Η ερμηνεία των αρχαίων πάνω στο σύμβολο ήταν τα τέσσερα στοιχεία (ΦΩΤΙΑ–ΝΕΡΟ–ΑΕΡΑΣ–ΓΗ ) και σε αυτό έδιναν τους όρκους τους οι Πυθαγόρειοι. Πάνω στην τετρακτύ βρίσκονται οι βασικές αναλογίες του μήκους μιας χορδής, που αφορούν τα τελείως σύμφωνα μουσικά διαστήματα: 2/1=οκτάβα, 3/2= πέμπτη, 4/3=τέταρτη. Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν πως η τετρακτύς αποτελεί το περίγραμμα της ολικής ουσίας του σύμπαντος. Ο όρκος τους ήταν: «ορκίζομαι σε αυτόν που παρέδωσε την τετρακτύ στις επόμενες γενεές, πηγή της αιώνιας φύσης μέσα στις ψυχές μας».

Ήταν ο ακρογωνιαίος λίθος της φιλοσοφίας τους, εκφράζοντας την ολότητα που ενυπάρχει μέσα στη δεκαπλή φύση της θεϊκής ενότητας τεσσάρων επιπέδων, που αντιπροσωπεύονται από τις τέσσερις σειρές της τετρακτύος, των οποίων τα στοιχεία, δηλ. οι αριθμοί έχουν άθροισμα 10. Αυτή η αδιαίρετη Μονάδα,το 1, είναι η πηγή όλων των αριθμών και φυσικά και των πραγμάτων. Στην τετρακτύ όμως, κατορθώνει και δημιουργεί τα δέκα (ή τα 10000 πράγματα των Ανατολικών), δηλαδή την πολυπλοκότητα της εξελιγμένης μορφής, χωρίς να χάνει τη μοναδικότητά της. Αυτό βεβαίως είναι ένα μυστήριο, που μπορεί να προσεγγιστεί μόνο μέσω του αφηρημένου νου, ο οποίος συνδέει τον κόσμο των Ιδεών με τις εικόνες τους, δηλαδή τις Μορφές.

Ενδιαφέρον αποτελεί επίσης και το γεωμετρικό σχήμα τετράεδρον. Έχει τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα σαν έδρες, μοιάζοντας με μία ισόπλευρη τριγωνική πυραμίδα, που όμως και η βάση της είναι επίσης τρίγωνο. Συμβόλιζε για τους Πυθαγόρειους τον αριθμό 4, που εμφανίζεται στο τετράχορδο και στις τέλειες τέταρτες, στις οποίες οι Έλληνες διαιρούσαν τις μουσικές κλίμακες. Στερεοσκοπικά είναι η προέκταση της τετρακτύος στο χώρο. Το τετράεδρον εκφράζει το μαθηματικό χαρακτήρα των μουσικών τρόπων που η ορθόδοξη και η καθολική εκκλησία (αν και με διαφοροποιημένους τρόπους και άλλες μεταγενέστερες επιρροές) υιοθέτησαν από την αρχαία Ελλάδα και οι οποίοι αναπτύχθηκαν γενικότερα στις μεσογειακές χώρες.

Αρχικά τους τρόπους αυτούς υιοθέτησαν και οι Διαμαρτυρόμενοι, αν και αργότερα δημιούργησαν δικό τους σύστημα ή δικό τους μουσικό είδος, οι μεν Γερμανοί το συγκερασμένοσύστημα, οι δε Αμερικανοί (διατηρώντας αρμονικές βάσεις και το κούρδισμα του συγκερασμένου, προσθέτοντας νέγρικους ρυθμούς και μελωδίες) το γκόσπελ (είδος). Νεότεροι πειραματιστές εξάλλου, χρησιμοποιούν αυτούσια την Πυθαγόρεια κλίμακα, χωρίς βέβαια απαραίτητα οι ίδιοι να σχετίζονται πλέον με συγκεκριμένη μεταφυσική άποψη στον τρόπο ζωής και αντίληψής τους. Έτσι, τελικά, οι συμπαντικές αρχές κατορθώνουν και περνούν διαχρονικά διαμέσου πολιτισμών και διαφορετικών δοξασιών. Η πυθαγόρεια μουσική κλίμακα εν γένει, εκτός από το γεγονός ότι αποτελεί τη βάση για την ευρωπαϊκή διατονική κλίμακα, έχει μαθηματική πληρότητα, συμμετρία και αναλογίες που αντιστοιχούν σε αριθμούς, που ορισμένοι επιστήμονες θεωρούν ότι περιγράφουν τις βασικές μονάδες της ύλης. Στη θεωρία των Υπερχορδών, μικροκοσμικές χορδές σχηματίζουν τα ατομικά και υποατομικά σωματίδια της ύλης, ανάλογα με τον τρόπο που αυτές δονούνται. Μελετώντας τους μαθηματικούς νόμους της αναλογίας των δονήσεων, ουσιαστικά αποκτούμε μια ιδέα του Δισκοπότηρου της Φυσικής με τη θεωρία του Παντός, που αναφέρεται σε όλες τις δυνάμεις της φύσης. Το σημαντικότερο, όμως, και απλούστερο για όλους μας ταυτόχρονα, είναι η κατα-νόηση των πνευματικών καταβολών που έχουμε κληρονομήσει εδώ και χιλιάδες χρόνια και καλούμαστε να φανούμε αντάξιοί τους.

Για έναν Πυθαγόρειο, η σύνδεση μεταξύ μουσικής και τετρακτύος δείχνει τη συμπαντική εφαρμογή της ιερής τετρακτύος, όχι μονάχα σαν αφηρημένη παρουσίαση της δεκαπλής φύσης της θεότητας, αλλά και σαν μία πραγματική περιγραφή των μουσικών εμπειριών των αρχαίων, που διαπερνούν συθέμελα τους απογόνους με τη μορφή νέων πολιτισμών και ανθρωποποίητων θεολογιών. Το κραταιό τετραδικό σύμβολο εκφράζει τη δεκαπλή φύση της Θείας Παρουσίας στο φαινομενικό κόσμο, καθώς οι Μοριακοί Φυσικοί που εργάζονται πάνω στη θεωρία των Υπερχορδών έχουν αθέλητα οδηγηθεί στο ίδιο συμπέρασμα, δηλαδή ανακάλυψαν πως το χωροχρονικό σύμπαν πρέπει να αποτελείται από δέκα διαστάσεις!

Όπως τα μαθηματικά είναι η γλώσσα του Θείου Νου, στην οποία ο Γαλιλαίος είπε ότι είναι γραμμένο το βιβλίο της Φύσης, εκφράζοντας όλες τις πιθανές καταστάσεις του φυσικού κόσμου, έτσι και η μουσική είναι η φυσική γλώσσα που εκφράζει όλες τις καταστάσεις της Ψυχής.

Τελειώνοντας, κρίνω σκόπιμο να σημειώσω, πως σκοπός του αρθρογράφου δεν είναι σε καμία περίπτωση ούτε η ονοματολογική αναφορά κλιμάκων και μουσικών συστημάτων – γιατί κάτι τέτοιο αφενός δε θα ήταν δυνατό μέσα σε ένα άρθρο, αφετέρου δε οποιοδήποτε έγκυρο κατάστημα μουσικών βιβλίων έχει ήδη όλο το γνωστό σε μας υλικό για κάτι παρόμοιο – αλλά ούτε και η κριτική που γίνεται πολλές φορές εναντίον άλλων μουσικών και μαθηματικών συστημάτων πλην του Πυθαγόρειου. Προσωπική άποψη του γράφοντος είναι πως κάθε σύστημα είναι αναγκαίο για την εξέλιξη λαών, κρατών και ηπείρων. Άλλωστε, το ίδιο ισχύει για τις θρησκείες και τις ιδεολογίες, και ας μην ξεχνάμε πως η μουσική συμβαδίζει χωροχρονικά μαζί τους.

Ας σταθούμε στη φιλοσοφική πλευρά του θέματος, αντί της στείρας αντιπαράθεσης των πολιτισμών. Σε αυτή την άποψη, η ερμηνεία των εσωτερικών συμβόλων μένει απαράλλαχτη, ακόμα και αν γράφουμε μονοτονικά, αν μετράμε με 1,2,3… και όχι με α,β,γ (αν και υπάρχουν μελετητές που δείχνουν πως οι αραβικοί αριθμοί είχαν σχεδιαστεί ως σύμβολα από τον ίδιο τον Πυθαγόρα) και αν συνθέτουμε συγκερασμένα (αλλιώς δε θα μπορούσαμε να χρησιμοποιούμε τις πολύπλοκες συγχορδίες και αντιστίξεις και θα συνθέταμε μόνον αρχαία μουσική, πράγμα το οποίο σίγουρα δεν αρκεί για να εκφράσει τη σύγχρονη ανθρωπότητα). Εάν βαδίζαμε άλλωστε με τη λογική της τυπολατρείας, θα έπρεπε να καταργήσουμε όλη την παράδοση της αστρολογίας, διότι αστρονομικά δεν ισχύει ακριβώς πλέον, λόγω της μετάπτωσης των ισημεριών. Ωστόσο, τα σύμβολά της ισχύουν και στη σύγχρονη εποχή, έστω και μόνο (αν και στην πραγματικότητα για πολύ περισσότερα) εξαιτίας των από χιλιάδων ετών δομημένων σκεπτομορφών πάνω στο σύμβολο του Ζωδιακού. Θα ήταν παράλειψη εξάλλου να προσθέσω, πως, για την εποχή του, ο Πυθαγόρας δημιούργησε και αυτός ένα συγκερασμένο σύστημα, καταργώντας ουσιαστικά πολλά από τα μόρια (μονάδες μικροκουρδίσματος) της Ανατολής, θεωρώντας πως δεν εξυψώνουν τον άνθρωπο.

Βιβλιογραφία

Μιχαηλίδης Σ., Εγκυκλοπαίδεια της αρχαίας ελληνικής μουσικής, ΜΙΕΤ, (Αθήνα, 1982)
Reitman B., History of Mathematical Approaches to Western Music, (2003). (math_music_hist.pdf)
Philips St. M., Pythagorean Aspects of Music, (Phillips.htm)
Garland TH & Kahn C.Y, Math and Music, D.Seymour Publications (1995)
James Jeans, Science and Music, (Dover,1968)
Sextus Empiricus, Adv. Math.
Αριστοτέλους, Πολιτικά
Πλάτων, Τίμαιος

Μαθηματικά και μουσική

Γράφει ο Γιώργος Αξάς
Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).

Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο
Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής

Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε
Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης .

Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο. Επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρω ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.
Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου).
Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής:
- Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής.
- Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής.
- Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής.
- Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής.

Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν.
Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε.
Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα (περί το 375 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία «ο Μουσικός». Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου.
Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.

Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις.
Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων.
Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης
μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2
στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.
Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα
Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.

ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ
12 .................Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53 .................κόμμα του Μερκάτορα
68 .................Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72 .................Βυζαντινό ηχομόριο
301 ...............Savart
665 ...............Delfi unit
1200 ..............cent

ΠΗΓΕΣ
Ελληνική ιστοσελίδα για τη Βυζαντινή μουσική , Focus , Πανελλήνιο Σχολικό δίκτυο